数学案例教学分析(5篇)　

第一篇：小学数学案例教学的策略

摘要:数学学科是以抽象思维、逻辑推理为主要解决手段的基础知识学科．数学问题已成为教师和小学生之间深入沟通、思想碰撞、共同进步的“桥梁”和“纽带”，也成为小学数学课堂有效教学的重要“媒介”和有效“抓手”．笔者现将案例有效教学方法教研心得做一简单的论述．

关键词:小学数学;数学案例;方法策略

数学学科是以抽象思维、逻辑推理为主要解决手段的基础知识学科．实用主义学者认为，学习探究知识、掌握获取知识，其根本目的是为了更好的解决遇到的问题．数学学科讲解进程中，学生主体需要经常开展解决数学问题的实践活动，教师需要围绕解决问题的方法途径开展数学问题的讲解教学活动．数学问题已成为教师和小学生之间深入沟通、思想碰撞、共同进步的“桥梁”和“纽带”，也成为小学数学课堂有效教学的重要“媒介”和有效“抓手”．如何选择典型、精确的数学案例，开展高效深入的案例教学活动，已经摆在了小学数学教师的面前，成为需要教师切实有效破解的“课题”．近年来笔者围绕数学案例式有效教学活动的实施，进行了粗浅的探索和研究，现将其案例讲解的策略和方法做一简单的论述．

一、情境激励法，以生动典型案例激发学习潜能

数学学科与现实生活紧密相连，数学学科是现实生活、工作现象的具体化、抽象化表现途径之一，现实生活、工作是数学内涵直观化、实用性的生动写照．小学认知教育学指出，小学生所处的年龄阶段、认知的现实情况，决定了其学习内容需要生动、形象、丰富，与学生生活实际紧密联系．笔者在教学研究中也深刻感受到，小学生群体对现实感、具体化的数学问题总是充满强烈的探究欲望和求真精神．因此，小学数学教师要数学案例教学达到有效目标，就必须做好“准备”工作，在数学案例设置的内容和形式上做“文章”，抓住小学生的认知实际，设置与他们认知情况相贴近、与他们的学习生活相联系的案例问题，接近“情感发展区”，激活“思想兴奋点”，从而带着情感、带着乐趣参与案例教学，打下坚实情感基础．如在“连乘应用题”案例课教学时，教师利用该节课“连乘应用题”知识点与现实生活中的“商品销售”关系，展示数学生活特点，向学生展示了“某超市有每箱装6瓶的汽水，今天一共卖出了4箱，一共卖出多少瓶?”数学场景，并组织小学生分成售货员和顾客等角色进行亲身的参与和感知活动，以此获得直观的亲身感受，激发起他们的内在能动性，思想上受到触动，主动参与案例教学［1］．

二、互动交流法，以师生双边活动推进案例讲解

教育学指出，教学效能优劣的重要评判标准之一，就是教学对象是否全身心参与教学双边活动，展现和呈现学生的主体风采和学习效果．但笔者发现，有不少的小学数学教师案例式教学活动，过分放大了教师的“导”的特性，而忽略了学生的“学”的特点，案例教学成为教师一个人展现风采和技能的“舞台”，小学生成为被动应付的“接受者”，不能深入其中，与教师进行共同思维、共同分析等实践活动，降低了案例教学的效果．而教育实践学明确指出，任何教学活动必须融合和包含师与生之间的深入互动、探讨等双边活动．这就要求，教师开展小学数学案例教学，应将互动教学渗透和融入到教学实践进程中，引导学生参与到数学案例的分析、解答和归纳等实践进程中，通过互动交往的手段，帮助他们进一步认清解题意图、掌握解题方法，提高分析效果，让数学案例成为师与生二者深入互动的有效“平台”，推动案例教学深入发展［2］．如“A和B两地相距150千米，甲和乙两人同时相向而行，骑自行车从两地出发，如果甲每小时速度为16千米，骑行4小时后，两人之间还相距30千米，试问乙每小时骑行的速度是多少?”案例讲解时，教师没有个人承包案例解析的总任务，而是引导小学生与教师一起进行案例的解析共同劳动．师生之间围绕题意的条件、解题的要求以及解题的思路、解答的过程等等方面开展互动交流、深入讨论活动，教师提出“甲和乙骑行的总路程为多少?”、“骑行四小时，甲和乙共同骑行的距离为多少?”、“如何建立方程式求乙的速度?”等问题，与小学生一起互动交流，讨论分析活动，重点围绕案例解答的思路进行共同探讨活动，结合“两人骑行的总路程”、“骑行四小时后的相距路程”等内容，从而获得其解题思路为“由两人骑行4小时后的路程与相距的路程之和为150千米的关系，然后除以4，得到乙的骑行速度”．这样为小学生案例有效解析扫除了障碍，同时也增添了他们的信心．

三、实验探究法，以亲身实践探析提升讲解实效

众所周知，不劳而获的学习心得，其接受对象理解掌握的程度较为浅显，难以在脑海中留存深刻的印象，也不利于接受对象动手学习技能的培养和训练．在小学数学教学进程中，有许多需要进行动手实践、实验验证的数学案例，这些案例的有效设置和教学，能够对小学生的动手实践能力、思考分析能力、观察归纳能力等方面起到深刻的锻炼和培养功效．因此，教师案例讲解时，应充分信任学生，为他们腾留出一点空间的动手实验时间，组建实验探究小组，明确分工职责，围绕目标要求开展实践操作活动，教师给予必要的讲解指点，以此锻炼和提高小学生的数学解析能力［3］．求出该图形的面积”案例教学中，教师在小学生已掌握的图形面积求解基础上，采用实验验证法教学方式，组织小学生通过实验手段进行解答案例的实践活动，设计小学生自主实验的操作探究过程．小学生群体组建实验小组，借助于已学过的三角形面积求解方法，有的学生提出能否采用将此图形分割成两个三角形的方法进行求解，其他小学生根据这一提议进行动手分割活动，在对图形进行剪割以及拼接的过程中，他们发现分割后的两个三角形进行拼接正好形成平行四边形．此时小学生意识到求此图形面积时，可以利用三角形的公式进行解答．这样学生在实验操作的过程中，对如何解答平行四边形类型的图形有了基本的方法和策略，提升了他们的动手操作、思维分析能力．

四、评价辨析法，以科学评判实践巩固提升效果评判

学生学习成效、评价学生学习效果，是教师课堂教学中所必不可少的重要实践活动，也是展示教学主导作用，推动学生深入反思，促进学生良好习惯养成的重要手段．小学生由于数学知识素养、解题能力以及智力发展等方面的欠缺，导致小学生案例解答时出现错误和缺陷．这就需要教师借助于评价教学法，予以科学评判、精准辨析，提出解法，推动实践．因此，教师要注重对评价辨析法在案例教学中的运用，在教师评判基础上，还要创新教学方式，引导小学生做教师，评判自己的案例解答活动，评析他人的案例解答进程，展现自己的解题观点，呈现自己的思维见解，以此梳理和汇总正确的解题方法和策略，为进一步案例解答自助活动提升和巩固．总之，作为小学数学课堂教学的重要组成部分，案例教学活动要达到师与生相长的效果，教师要创新教学理念，活化教学方式，采用各种有效教学策略，引导和组织小学生进行案例的观察、分析、解答和归纳等实践活动，为良好解题素养的提升和正确解题方法的形成做出贡献．

参考文献:

［1］孔企平，胡松林．新课程理念与小学数学课程改革［D］．东北师范大学出版社，2012(25)．

［2］罗忠勤．如何提高小学数学教学质量［J］．考试周刊，2009(24):86．

［3］朱建新，朱崇业．数学符号和数学式编排的一些问题［A］．学报编辑论丛(第十一集)［C］．2003(6)．

作者：陈易娟 单位：江苏省南通市通州区东社学校

第二篇：小学数学案例教学的运用策略

【摘要】小学数学的教学内容较为枯燥抽象，小学生在学习过程中通常会对数学学科产生厌学现象。案例教学法是在核心素养教学理念下将数学课堂形象化、生活化与实用化的高效教学措施，教师们一定要在课前、课时、课后三个环节进行案例教学的实践运用研究，探讨如何提高案例教学方法的运用效率，帮助小学生提高数学学习能力。

【关键词】小学数学;案例教学;策略

小学数学课堂教学质量的高低一直是教师、家长所关注的重点问题，所谓高效、高质量的数学课堂就是要能够将课本中的数学知识有效、灵活地传输到每一位学生大脑中，让其懂得数学学科理论的具体特征、形式以及本质。数学学科虽然在理论形式上较为抽象，但是就其本质而言，其与学生生活有着较强的联系性，所以教师一定要结合数学案例帮助学生提升数学理论理解能力，提升数学课堂的实践层次，有效提高数学课堂教学质量。下面，笔者就小学数学案例教学方法的运用谈谈一些高效策略。

一、案例教学备案

就小学数学案例教学的整体模式而言，教师必须要进行教学备案，从每一节课堂的教学目的和教学内容出发，灵活选择、设计教学案例。因此，案例教学备案质量的高低直接影响着小学数学案例教学策略是否能够成功实施。那么在现代化素质教育体系下，小学数学课堂应当选择什么样的教学案例呢?笔者认为数学教学案例必须具备两个特征，一是逻辑性，二是科学性，只有同时具备着两个特征，教学案例才能与数学知识点相结合，深化数学内容本质。教学案例不同于传统数学课堂上的数学举例，案例教学备案必须要从两个主线出发，一是教师的案例准备与设计，二是学生的课前预习。教师们在案例教学备案时一定要将数学课堂的主题与内容大纲发放给学生，让学生们就教材知识先进性预习，这样才能够让案例教学课堂更加具有适应性和高效性。比如，在西师版小学数学教材一年级上册第三章《分一分，认识图形》的教学过程中，就图形的分类教学，我进行了案例教学的准备与设计。首先，我从《分一分，认识图形》的教学目的出发，此章节的教学目标有两个，一是让学生们具备图形分类的能力，二是让学生们对整个图形体系有一个初步的了解与认识，因此我在备案过程中选择了大量的图形案例，从互联网教学资源上选取了长方形、正方形、三角形、圆形、梯形等等，并选用了生活中的图形案例，有圆桌，黑板，电视等等，使得教学案例既具有理论元素，又具有生活元素，让学生们能够快速融入到案例教学课堂中，提起学习兴趣。同时，为了让此案例课堂能够具有较好的教学连贯性，再课前我让学生们就“生活中的图形”这一主题进行充分预习，让每一个教学案例都能够很好地贯彻到数学课堂中去。

二、组织案例讨论

教师在经过案例教学备案后，在小学数学案例教学课堂上要组织学生们围绕教学案例展开讨论与交流，使他们对数学教材的知识点形成一个初步的框架性认识。在组织案例讨论时，教师可以适当应用合作教学理念，让学生们搭配成案例讨论小组进行激烈讨论，讨论的主线是让其能够灵活利用书本上的理论知识点就教学案例进行理论分析，总结案例与理论之间的相关性。在案例讨论环节结束后，教师切不可让学生们就此停止思维调用，要让他们进行及时总结与反思，针对学生们的讨论问题进行纠正。比如，在西师版小学数学教材二年级上册第二章《角的初步认识》的教学过程中，我给学生们就“直角、钝角和锐角”进行了教学案例的展示，案例包括“墙角、汽车顶、笔记本电脑”等等，接着给学生们灵活搭配成案例讨论小组，让他们讨论墙角的角度可以用什么角来表征，笔记本A面和B面之间角度的变化可以展现出哪几种角，汽车顶部的弧线若直线化可以体现出哪几种角度。学生们就这三种案例问题进行了激烈的讨论，在讨论的过程中，他们自然而然地会将数学教材中角的理论与实际生活联系在一起，对角的理论体系形成一个初步的了解与认识，并具备基本的运用能力。最后，我让学生们就自己的思考过程进行反思，让学生们互相之间自主发现问题与缺陷，结合教材的知识点进行更正。

三、案例归纳

案例归纳是将数学教学案例的教学价值最大化的有效措施，经过学生的案例总结与反思后，教师的案例归纳显得尤为重要。教师必须从整个教学案例的形式、理论渗透、生活化等各个部分出发，严密结合数学课堂上的理论知识点，用数学理论对教学案例进行全方位解析，帮助学生们进一步理解数学知识点，强化学生数学理论应用于生活的意识。值得注意的是，学生们的思维方式具有明显的差异性，就一个教学案例而言，每一个学生对其的思考方式是不同的，教师切不可急于下结论，要从学生们的每一个观点出发进行讨论与交流，指出其正确和错误的地方，让每一个环节都具有数学理论的支撑，使得每一个学生都能在案例课堂上获得进步。比如，在西师版小学数学教材二年级下册第二章《千米的认识》的教学过程中，我通过举塑胶环形跑道和直尺的案例让学生们就千米和毫米进行案例讨论，让学生们在思维意识中了解千米和毫米大概是什么样的标准尺度。在学生们的案例讨论环节结束后，我进行案例归纳，有的学生认为塑胶跑道只有四百米，不足千米，对此我指出塑胶跑道的叠加正是千米尺度的计量标准，在体育赛制中塑胶跑道是千米竞赛的重要载体，以此加强学生思维的灵活性。

四、结语

小学数学教学质量的高低影响着学生们是否能够在小学学习阶段获得较好的数学思维应变力，就数学学科的教学本质而言，数学理论与实际生活有着密切的联系，教师一定要把握这种微妙关系，从案例教学方法的教学角度突破传统小学数学课堂教学模式限制，让学生们学好数学理论的同时提高理论实际运用能力，有效巩固数学理论知识，实现数学综合素质的提高。

【参考文献】

［1］夏宗政．小学数学新课导入的教学案例分析［J］．西北成人教育学报，2013．

［2］谢强．以教学案例反思促进小学数学教师专业发展的实践研究［J］．基础教育研究，2011．

作者：欧信容 四川省资阳市雁江区第一小学

第三篇：通过应用案例提高离散数学教学效果

摘要：数学作为现代理性文化的核心，提供了一种思维方式。离散数学研究离散的数量关系和离散的数学结构模型，为计算机专业课程学习提供了基本的数学方法和手段。重点介绍了《离散数学解题指导（第２版）》所新增的应用案例，通过一些应用案例的求解分析，激发学生对离散数学课程的兴趣、对获取离散数学知识的渴望。

关键词：离散数学；案例教学；能力培养

离散数学是数学里专门用来研究离散对象的一个数学分支，是计算机专业的一门重要的基础课。它所研究的对象是离散的数量关系和离散的数学结构模型。离散数学主要包含数理逻辑、集合与关系、函数、图和树、组合计数、离散概率、数论与递归关系、代数系统、自动机、文法和语言等内容［１］。基本上涵盖了计算机专业所需的数学内容。离散数学这门课程，主要介绍各分支的基本概念、基本理论和基本方法，这些知识将应用于数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库原理、算法分析与设计、人工智能、软件工程、计算机网络等专业课程之中。

１离散数学是理论计算机科学的核心

理论计算机科学，包括离散数学，还包括程序理论、计算理论、语言理论、人工智能、数据理论和并行算法。其中离散数学是基础核心学科。程序理论是研究程序的语义性质和程序的设计及开发方法的理论，主要包括程序语义理论、程序验证理论、程序设计理论等。程序验证理论，即验证程序正确性的理论，主要研究使用数学方法严格证明一个程序符合其预定目标。为此，首先要将程序所要实现的目标形式化，使用程序断言描述程序性质，进而证明在程序的任何一种可能的加工过程中所设置的断言都是正确的。程度理论通常以时态逻辑为基础。计算理论是关于计算和计算机械化的理论，主要包括：自动机理论、可计算性理论、计算复杂性理论和形式语言理论。其中，可计算性理论是研究计算的一般性质的理论。计算的过程就是执行算法的过程，算法可以视为一组规则，且具有有限性、可执行性、机械性、确定性和终止性等特征。可计算性理论的核心课题是：在给定的抽象计算模型下，研究哪些问题是可计算或存在求解算法的，哪些问题是不可计算或不存在求解算法的，以此揭示计算的实质。可计算性理论的主要研究内容有可计算函数、递归函数、可判定问题和不可判定问题。语言理论研究计算机可识别语言的语法及运算性质的理论。形式语言的语法通常用形式文法描述。依据产生式规则的不同形式，乔姆斯对形式文法及其产生的语言提出四种分类谱系，即正规类、上下文无关类、上下文有关类和短语结构类。有穷自动机、下推自动机、线性界限自动机、图灵机作为语言识别机器，它们识别的语言类恰恰分别是正规语言类、上下文无关语言类、上下文有关语言类和短语结构语言类。巴科斯系统极其类似于形式语言中的上下文无关文法，从而为形式语言广泛应用于描述程序设计语言打开了局面。人工智能技术主要包括知识工程、机器学习、模式识别、计算机视觉、自然语言处理、智能机器人和神经计算等技术。知识工程关注知识表示方法、自动推理方法、启发式搜索方法和专家系统技术。机器学习研究计算机模拟人类的学习行为。模式识别是对表征事物或现象的各种形式的信息进行处理和分析，以对事物或现象进行描述、辨认、分类和解释。计算机视觉旨在对描述景物的一幅或多幅图像的数据经计算机处理，以实现类似于人的视觉感知功能。自然语言处理技术指用计算机对人类的书面和口头形式的自然语言进行处理加工的技术。智能机器人指具有人类所特有的某种智能行为的机器，其主要研究内容有操作与移动、传感器及其信息处理、智能控制和人机交互等。数据模型是对现实世界数据特征的一种抽象，是构建数据库系统的基础，也是数据库系统的划代标志。数据库系统包括分布式数据库系统、联邦数据库系统、并行数据库系统、演绎数据库系统、知识库系统、主动数据库系统、多媒体数据库系统、移动数据库系统、Ｗｅｂ数据库系统、流数据库系统等。数据库技术被应用到特定领域后还产生了数据仓库、工程数据库系统、统计数据库系统、空间数据库系统、科学数据库系统等。并行算法就是用多台处理机联合求解问题的方法和步骤，其执行过程是将给定的问题首先分解成若干个尽量相互独立的子问题，然后使用多台计算机同时求解它，从而最终求得原问题的解。并行算法是并行计算中非常重要的问题。研究应该确立一个“理论－设计－实现－应用”的系统方法，形成一个完善的“架构―算法―编程”方法论，这样才能保证并行算法不断发展并变得更加实用。

２离散数学解题指导新增案例

在离散数学教学中我们发现，通过一些应用问题的引入和求解分析，学生能够对离散数学产生兴趣，并留下深刻印象。借修订《离散数学解题指导》之际，我们对每一章均增加了应用案例，以说明相应章节知识的学习可以解决什么样的典型应用问题。教学内容是课程改革的关键环节。借助计算机科学领域中的新理念、新技术、新趋势和课程组多年的摸索与实践，并注重课程体系的完整性和内容的科学性，适时的充实教学内容，通过一些应用问题的引入和求解分析，确保知识点内容得到强化，确保学生能够对课程产生兴趣，同时确保教学内容的新颖和实用，从而达到将离散数学的知识点与后续课程的学习形成一个贯穿性，促进后续课程的学习。新修订的离散数学解题指导［２］，每章包含第１版的内容提要、例题精选和习题解答，并新增“应用案例”，以说明相应章节知识的学习可以解决什么样的典型应用问题，从而加强了知识点的贯穿性内容的应用，注重了理论联系实际。

２．１逻辑部分的典型案例介绍

“命题逻辑”中的应用案例包括：克雷格探长案卷录，忘却林中的艾丽丝（狮子与独角兽、斤斤计与斤斤较）。“谓词逻辑”中的应用案例包括：电路领域的知识工程，基于逻辑的财务顾问。“电路领域的知识工程”问题：有很多与数字电路相关的推理任务。最高层次是分析电路的功能。例如，确定电路是否能正确地完成加法；如果所有的输入都是高位，计算门Ａ２的输出值；所有的门都和第一个输入端相连，推断得到的结果；确认电路是否包含反馈回路。更详细的分析层次包括定时延迟、电路面积、功耗、生产开销等相关内容。每一层次都需要补充额外的知识。请开发本体和知识库，以便对数字电路进行推理。“基于逻辑的财务顾问”问题：利用谓词演算设计一个简单的财务顾问。其功能是帮助用户决策是应该向存款账户中投资还是向股票市场中投资。一些投资者可能想要把他们的钱在这两者之间分摊。推荐给每个投资个体的投资策略依赖于他们的收入和他们已有存款的数量。

２．２集合论部分的典型案例介绍

“集合与关系”中的应用案例包括：同余关系在出版业中的应用，拓扑排序在建筑工序中的应用，等价关系在软件测试等价类划分中的应用。“函数”中的应用案例包括：逢黑必反魔术，生成函数在解决汉珞塔问题过程中的应用。“组合计数与离散概率”中的应用案例包括：大使馆通信的码字数，条条道路通罗马。“同余关系在出版业中的应用”问题。“国际标准书号”（ＩＳＢＮ）由４部分组成：组号、出版商号、出版商指定的标识号、校验位，例如ＩＳＢＮ０－６７３－３８５８２－５中，最后一位数字５是校验位，用于检测复制和传送ＩＳＢＮ过程中产生的错误。推断设置校验位的原理。“逢黑必反魔术”问题。汉蒙洗牌有两个动作，第一个动作叫做“拦腰一斩”，第二个动作叫做“换了位置换脑袋”。经过汉蒙洗牌后，如果把偶数位置的牌进行翻转，即原来面朝上的变成面朝下，原来面朝下的变成面朝上，那就会变成全红，红的牌全部在上面（面朝上），黑的牌全部在下面（面朝下），所以这个魔术的名字叫做逢黑必反。当然这里要求原来的牌是排好的，是黑红黑红。随便用汉蒙洗牌法多次洗牌，到了最后只要把偶数的牌翻过来，一定都是红的全部面朝上或者黑的全部面朝上。请解释其中的原理。“大使馆通信的码字数”问题。某大使馆与它的国家通信，所用的码字由长度为ｎ的十进制数字串组成。为了捕捉到传输中的错误，约定每个码字中字符３和字符７的总个数必须是奇数。推算可能的码字数量。“条条道路通罗马”问题。魔术表演者甲请他的临时助手乙想一个数字，然后甲用“心灵感应”来感应乙的数字，甲可以感应出乙最终停的位置，请说明其中的数学原理。

２．３图论部分的典型案例介绍

“图论”中的应用案例包括：网络爬虫，读心术魔术，高度互联世界的行为原理；“树及其应用”中的应用案例包括：决策树在风险决策中的应用，Ｈｕｆｆｍａｎ压缩算法的基本原理，一字棋博弈的极大极小过程。“读心术魔术”问题。一副牌随便你拦腰斩，斩了很多次之后，把前面的五张拿出来，分别发给５个人，然后魔术师心灵感应一下，就可以知道这五张牌是什么。魔术师请拿红牌的人帮一个忙，往前走一步。例如，魔术师知道这五张牌的红黑顺序是“黑红黑红红”，然后魔术师就可以心灵感应出这五张牌。请说明这其中的奥秘。Ｈｕｆｆｍａｎ压缩算法的基本原理。２×２的子点阵共有１６种状态，每种状态以来表示。通过统计２４×２４点阵字库中的６９００个汉字得到这１６种状态产生的概率为其值。请解释汉字字库压缩算法原理。

２．４代数系统、自动机和数论部分的典型案例介绍

“代数系统”中的应用案例包括：物理世界中群的应用，群码及纠错能力。“自动机、文法和语言”中的应用案例包括：奇偶校验机，地址分析，语音识别。“初等数论”中的应用案例包括：码系统与公开密钥，单向陷门函数在公开密钥密码系统中的应用。物理世界中群的应用：正六面体的６个面分别用红、蓝两种颜色着色，计算可实现的方案数量。用红、蓝两种颜色给正六面体的８个顶点着色，计算方案数量。“码系统与公开密钥”问题。待加密的消息称作明文，被加密以后的消息称为密文。发送方用加密密钥，通过加密设备或算法，将明文加密成密文后发送出去。接收方在收到密文后，用解密密钥使用解密算法将密文解密，恢复为明文。请概述加解密及公开密钥的基本原理。

３结束语

问题驱动的学习，能够激发学生的学习兴趣，给学习留下深刻印象，甚至终生难忘。通过信息安全、知识工程、软件测试、风险决策、语音识别、网络搜索等生动的应用案例阐述离散数学在解决信息领域问题中所发挥的作用；通过魔术中的数学、高度互联世界的行为原理等应用案例体现数学作为现代理性文化的核心。值得指出的是，我们在撰写函数、离散概率及图论章节应用案例时，选用了美国伊利诺大学刘炯朗教授在文章“魔术中的数学”［６］（２０１５年中国计算机大会报告）中的例子，命题逻辑部分的应用案例选自我的老师康宏逵先生翻译的《这本书叫什么》［５］。案例的选取还参考了吴军《数学之美》［７］和李晓明的译著［８］，一并致谢。

参考文献：

［１］贲可荣，袁景凌，高志华．离散数学（第２版）［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０１１．１１．

［２］贲可荣，袁景凌，高志华．离散数学题解指导（第２版）［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０１６．９．

［３］ＴＪｅｎｋｙｎｓａｎｄＢＳｔｅｐｈｅｎｓｏｎ，ＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓｏｆＤｉｓｃｒｅｔｅＭａｔｈｆｏｒＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ：ＡＰｒｏｂｌｅｍ－ＳｏｌｖｉｎｇＰｒｉｍｅｒ［Ｍ］．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－ＶｅｒｌａｇＬｏｎｄｏｎ，２０１３．

［４］贲可荣，张彦铎．人工智能（第２版）［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０１３．

［５］ＲａｙｍｏｎｄＭＳｍｕｌｌｙａｎ．这本书叫什么？―――奇谲的逻辑谜题［Ｍ］．康宏逵，译．上海：上海辞书出版社，２０１１．

［６］刘炯朗．魔术中的数学［Ｊ］．中国计算机学会通讯，２０１５，１１（１２）：３８－４３．

［７］吴军．数学之美［Ｍ］．北京：人民邮电出版社，２０１２．

［８］ＤａｖｉｄＥａｓｌｅｙ，ＪｏｎＫｌｅｉｎｂｅｒｇ．网络、群体与市场―――揭示高度互联世界的行为原理与效应机制［Ｍ］．李晓明，王卫红，杨韫利，译．北京：清华大学出版社，２０１１．

作者：贲可荣 谢茜 单位：海军工程大学

第四篇：计算机工程系CDIO理念下的高等数学案例教学

摘要：高等数学是一门重要的课程，是学生学习其它专业课程的基础，但由于高等数学自身的特点，在学习的过程中学生的积极性并不高，导致高等数学的教学达不到理想的效果。把CDIO教学理念引入高等数学教学中，并借助案例教学模式，让学生运用数学知识自己去解决实际问题，一定能激发学生学习高等数学的兴趣，从而提高高等数学课堂教学质量。

关键词：高等数学；CDIO；案例教学

大家都说数学很有用,可是如何去用？这是一个值得讨论的话题。高等数学是各个高校都会开设的一门课程，该课程所学习的内容和方法对学生后面学习专业课程具有重要的影响，所以说高等数学课程是一门工具性的课程，也足见学好高等数学课程的重要性。但高等数学的学习是枯燥乏味的，学生在学习的过程中是痛苦万分的，我们应该改变传统的高等数学教学方法，提高学生学习高等数学的积极性，才能有效提高高等数学的教学质量。借助CDIO理念，在高等数学教学中引入案例教学方法，一定能激发学生学习高等数学的兴趣，从而提高高等数学教学效果。

一高等数学教学现状

一直以来，高等数学的教学都是以讲授式为主的，也就是老师讲，学生听，虽然老师在讲台上滔滔不绝，但由于数学学科自身的特点，比如枯燥、抽象等，有些学生在下面却昏昏欲睡，学生学习的兴趣不大，积极性也不高，达不到理想的教学效果。很多教师在课堂上更注重定义的讲解、定理的证明、公式的推导等，至于数学知识产生的历史背景和文化价值，以及怎样运用数学知识解决实际问题介绍得很少，让学生觉得学习数学没有什么用处，没有意识到高等数学对他们后续学习专业课程以及以后在生活中的作用，从而不重视对高等数学的学习。传统的高等数学教学模式的弊端日益显著，急需寻找一种有效的教学模式改变这种现状。

二CDIO理念简介

CDIO是目前高等教育中工程领域非常流行的一种教育理念，CDIO代表Conceive(构思)、Design(设计)、Implement(实施)和Operate(运作)，是由美国麻省理工学院、瑞典查尔摩斯工业大学、瑞典林雪平大学、瑞典皇家理工学院四所大学共同创立的一种新型工程教育模式[1-3]。该模式强调学生的主体地位，要求学生积极主动参与到教学中来，尽量调动学生的积极性，让学生主动来实践工程技术，强调对学生实践能力的培养，倡导“做中学”，引导学生将“听数学”转变为“做数学”。我国自汕头大学引入CDIO教育理念以来，将CDIO教育模式与我国高校的教学情况相结合，增加诚信、职业道德以及职业素质的教育，能引导学生对核心专业课程的学习产生兴趣，能让学生在实践中进行学习，从而培养了他们的实际应用能力。CDIO模式要求以教师为引导，以学生为主体，加强实践教学，进一步培养他们的合作与沟通能力，提高他们的创新能力以及团队合作能力。

三案例教学简介

案例教学法就是教师以案例作为教材，使学生进入某种情景，充当某个角色，在教师的引导和支持下，鼓励学生思考及相互交流，找出问题及产生问题的原因，寻找机会，做出决策的一种教学方法[4]。案例教学法起源于20世纪20年代，首创于哈佛大学商学院，20世纪50～60年代在美国得到推广，而国内教育界开始探究案例教学法，则是20世纪90年代以后的事。刚开始，案例教学法主要在经贸、管理、法学等学科领域得到广泛应用，目前在我国MBA教学中也已广泛使用。在高等数学教学中，应用案例进行教学的实例并不多，这主要和高等数学自身的特点有关。高等数学是专业基础课，后续专业课程的学习要借助高等数学知识去解决问题，而很多经典案例存在于后续专业课程中，两者在衔接上存在一定的问题，但由于案例教学法的特点和优势，还是很值得借鉴的。

四CDIO理念下的高等数学案例教学

在高等数学教学中，引入CDIO理念，并开展案例教学模式，这是一种全新的尝试。案例教学直观生动，容易激发学生学习数学的热情，而且案例规模可大可小，在教学上具有良好的可操作性，同时也符合CDIO理论。CDIO要求在做中学，在教学中，教师引入案例，学生借助所学的数学知识进行讨论，寻找解决的方法，培养了学生解决问题的能力。在教学中既要学数学，更要用数学，即“做中学，学中练”，这就是CDIO理念。

（一）案例的选择要科学合理

在高等数学中并不是所有的内容都适合案例教学，因此，在进行案例教学前，教师应选择合适的数学内容，并且选择与专业相关的实际项目设计教学案例，一方面，所选案例要符合教学目标的要求，另一方面，案例选择要综合考虑学生的认知结构和个性特征，要清楚案例教学解决什么问题，能体现学生解决问题的哪些能力。例如导数的应用，定积分的应用，多元函数的极值等，这些内容都比较容易选择和专业实际背景相关的案例，并容易引导学生加以分析和讨论，从而提高了学生解决实际问题的能力。

（二）教师的角色定位要准确

在高等数学案例教学过程中，教师和学生是教学的两个重要角色，教师要发挥组织引导的作用，即以教师为主。首先，教师在课前要根据学生的认知水平选择合适的案例；然后，在课堂上要组织好学生并指导案例分析、讨论的全过程。在此过程中，教师需要解决案例中存在的问题，要有意识的引导学生朝既定的目标去思考，寻找需要用到的各种数学知识和思想方法，并关注问题发展变化的多种可能性；最后，对案例分析的全过程进行总结和点评，完成教学目标的各项要求。教师还应随时更新案例，使案例适应时代的发展，能够真正反映专业学习的需要，对于不符合发展实际需要的案例要及时剔除。

（三）学生能积极主动参与教学

CDIO工程教育模式要求以学生为主体，提高学生的主动性和积极性。在案例教学中，学生是重要的参与者，学生要分析案例，收集信息，参与讨论，发表见解。高等数学中的概念、定理等有着很强的逻辑性和抽象性，学生在学习过程中容易产生厌学情绪，在组织学生开展案例讨论活动的时候，让学生积极参与是重点。

（四）案例教学的实施要组织得当

在实施高等数学案例教学之前，教师需要根据教学内容和教学目标的要求精心准备教学案例，要告知学生应该提前预习和复习的内容，学生需要按照教师的要求，完成课前任务。在课堂上，教师展示案例，帮助学生进行合理的分组，引导学生对案例进行讨论，并及时解决学生提出的问题，帮助学生一起找到解决问题的途径。案例讨论结束之后，每个小组选派一名代表发言，将本小组的讨论意见进行汇报，大家一起从中选择最佳的方案。最后，教师还应该对案例教学的方法进行小结和评价，再列举一些类似的案例，分析案例解决的思路，通过对比找到共性，并对学生的各种合理见解给予充分肯定。只有完成好这四个阶段的工作，才能更好的实现教学目标。

五小结

在高等数学教学中引入CDIO教学理念，并借助案例进行教学，充分体现了师生互动的过程，教师不再是主动的讲授，学生不再是被动的接受，教师变成课堂的组织者和引导者，学生真正变成课堂的主人，学生从实际问题出发，通过自己亲自讨论和设计，体验解决问题的乐趣，培养了学生的创新意识和数学实践能力，让学生学会了如何用数学知识去解决实际问题，提高了学生对数学学习的兴趣，也进一步提高了课堂教学质量。

参考文献

[1]Edwardf.Crawley,JohanMalmqvist,sorenostluna,Doris.Brodeur著,顾佩华,沈民奋,陆小华译.RethinkingEngineeringEducation:TheCDIOApproach[M].北京:高等教育出版社,2009(4):81-83.

[2]查建中.论“做中学”战略下的CDIO模式[J].高等工程教育研究,2008(3):1-6.

[3]王平.基于CDIO的高等数学项目驱动研究[J].教育现代化，2015(15):143-145.

[4]高振滨，沈继红.案例教学法在数学建模中的应用[J].教育探索,2011(5):65.

作者：王平 单位：连云港师范高等专科学校

第五篇：翻转课堂模式下的高等数学案例教学研究

摘要：高等数学是各个高校都会开设的一门公共课。传统的高等数学教学以讲授式为主，很难调动学生学习的积极性。如果把传统课堂进行翻转，知识学习主要由学生课下自学完成，教师在课堂上运用案例教学法进行教学，让学生变成课堂的主人，可以充分发挥学生的积极性，从而提高高等数学教学质量。

关键词：高等数学；翻转课堂；案例教学

传统的高等数学教学以教师为中心，学生被动地接受数学知识。这种教学模式使学生对数学学习产生恐惧与厌恶心理，他们觉得数学枯燥乏味，认为学习数学没有用处，没有意识到高等数学对他们后续专业课程学习的作用，从而不重视对高等数学的学习，高等数学的教学质量一直得不到提高，所以对高等数学教学进行教学改革势在必行。如果把翻转课堂教学模式引入高等数学教学中，并借助案例教学法进行教学，能调动学生学习高等数学的兴趣，从而提高高等数学的教学效果。

一、翻转课堂的涵义

翻转课堂（FlippedClassroom）是2007年美国林地公园高中的两位化学教师乔纳森•伯尔曼和亚伦•撒姆斯，源于对落后学生学习的关照和为了帮助课堂缺席的学生补课，通过录制视频课上传网络让学生能有机会学习已经讲授的知识，并结合教学实践中学生无法灵活掌握教师所讲内容的问题现状所构想并实践的一种新的教学模式。传统的教学模式是学生在课前预习，教师在课堂上完成新知识的讲解，然后布置课堂作业，最后通过考试验证学习效果。而翻转课堂教学模式则不同，翻转课堂是指任课教师根据授课内容，创建相关教学视频，在上课前，学生首先观看教学视频，自学新课，然后，学生根据教学视频自主完成在线测试，进而吸收内化新知识，最后带着学习过程中的疑问去课堂上参与互动交流与讨论，从而达到理解并且掌握新知识，最终实现教学目标的目的。

二、案例教学的涵义

案例教学法就是教师以案例为教材，使学生进入某种情境，充当某个角色，在教师的引导和支持下，鼓励学生思考及相互交流，找出问题产生的原因，寻找机会做出决策的一种教学方法。案例教学法起源于20世纪20年代，首创于哈佛大学商学院。在师范教育中运用案例教学比较晚，大约在20世纪80年代，美国教育司研究协会年会中工作组提交的报告中提出，“教学案例能够阐明种种教学问题，案例教学应成为教育专业的主要教学方法”。这之后，教师教育案例教学方法才进入较广泛的研究和应用阶段。有数据统计分析表明：与其他教学方法相比，在学生分析问题和解决问题能力提高及观念培养上，案例教学是一种相当有效的教学模式。

三、翻转课堂模式下的高等数学案例教学研究

在高等数学教学中，运用翻转课堂教学模式，让学生课前自学相关内容，课上运用案例教学法，充分发挥学生的主体地位，让学生运用课前自学的数学知识和方法对案例进行分析讨论，寻找到解决案例的途径，从而提高学生学习高等数学的兴趣和积极性。1.上课前教师根据授课目标和授课内容提前创建好相关教学视频，并准备好自学清单，在下课前发给学生。清单上包括学生需要观看的教学视频、需要预习的内容、需要完成的习题和作业、需要完成的在线测试题等内容。学生在课下需要认真完成清单上的所有内容，及时吸收消化新知识，也方便教师了解学生的自学情况。同时，教师还应提醒学生，对于不懂的内容要记录下来，带到课堂上做进一步讨论。2.课堂上第一步：教师根据学生的掌握情况，把本次课的重难点做简单讲解，然后，让学生进行分组，相互检查课前作业，相互讨论自己课前自学不懂的内容，也可以向教师寻求帮助，学生在课堂上通过参与师生、生生之间的互动交流与讨论，从而达到理解并且熟练掌握新知识、实现教学目标的目的。第二步：教师把准备好的案例呈现给学生，让学生以小组为单位对案例进行分析讨论，在讨论的过程中，教师可以给学生一些引导，鼓励学生积极思考，通过小组合作，互帮互助，以团队协作的方式完成对案例的求解。第三步：每个小组选派一名代表，汇报本小组的讨论结果与所用方法，教师组织学生从中挑选最科学、最合适的做法。第四步：案例求解结束之后，教师还应对大家的讨论情况进行小结，给出正确答案，并进行合理的教学评价。

四、结语

翻转课堂就是对传统课堂的翻转，数学知识的学习主要由学生课下自学完成，在课堂上，教师展示案例，学生对案例进行分析讨论，学生通过交流讨论完成案例的求解，从而完成知识的内化。这种教学方式有利于提高学生的自主学习能力，能调动学生学习的主动性，能激发学生的求知欲，也能帮助教师提高教学质量，值得在教学活动中进行尝试和推广。

参考文献：

[1]孙露，方辉平.“翻转课堂”视角下高等数学与高中数学衔接重叠内容的教学设计[J].内蒙古农业大学学报，2016（1）.

[2]高振滨，沈继红.案例教学法在数学建模中的应用[J].教育探索，2011（5）.

作者：王平 单位：连云港师范高等专科学校数学与信息工程学院

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