农业经济索洛模型改造
一、中国经济快速发展
20世纪30年代中期，凯恩斯提出通过增加投资弥补需求缺口的理论，最终达到消除短期的、周期性的经济不稳定的目的。凯恩斯的理论是通过长期研究发达的资本主义国家的经济所得到的观点。发展中国家经济发展中面临的主要问题不是需求不足而是生产不足，所以凯恩斯理论观点被一些学者认为不适用于发展中国家。20世纪40年代末期，英国的哈罗德和美国的多马，根据凯恩斯的收入决定论的思想，把凯恩斯理论动态化和长期化，推导出一种经济增长理论，人们称之为哈罗德―多马增长模式。哈罗德―多马增长模式简单地说明了一个道理：GNP的增长率由国民储蓄率和国民资本―产出比例两个因素共同决定。在传统的经济增长模型中索洛模型对经济增长的研究方面影响最深远。索洛增长理论认为资本投入、劳动投入以及技术进步这三个方面是国家经济增长的源泉。正因为其在经济理论研究中突出的重要性，以索洛模型为代表的新古典经济增长理论是现代经济增长理论的基石。国内外大量学者从索洛模型出发，通过放宽假设等方法，进行经济增长研究，得出了一系列有价值的观点和理论。美国经济学家戴尔?乔根森（D.W.Jogenson）于1967年在《过剩农业劳动力和两重经济发展》一文中，提出依据新古典主义（NewClassicalism）的分析方法创立的一种理论。在一个纯粹的新古典主义框架内探讨工业部门的增长是如何依赖农业部门的发展的。乔根森模型是二元经济结构发展模型。乔根森认为，传统农业部门产品供给能力的大小影响工业部门的发展水平及农业劳动力转移程度。乔根森提出了“农业剩余”的观点。他认为农业剩余的产生，最终导致发生劳动力向现代工业部门的转移；农业剩余越大，劳动力的转移就越顺利。进入21世纪后，由于金融危机等各种影响经济发展的事件出现，经济增长问题的研究更加得到广泛关注。
同时，随着中国经济的快速发展，吸引了国内外学者的关注。很多学者开始对中国的经济问题进行研究。中国学者也开始对中国经济增长理论进行了探索。李政军对哈罗德―多马增长模式和索洛模型进行分析对比，认为索洛模型存在一些不足之处。郭磊对索洛模型进行修正，并据此对中国经济增长的可能性进行估算，估算结果发现有不下于3%的经济增长是由经济变动因素所引起的。王泽填和卢二坡将制度作为一个变量引入索洛模型，构造一个包含制度的、技术内生的增长模型。认为制度质量越好，人均产出增长率越高;人均产出存在关于制度的条件收敛。同时也认为欠发达国家具备良好的制度或能够持续改善其制度能获得“后发优势”赶超发达国家。陶红军和赵亮利用斯旺-索洛模型，借助面板数据，对福建省各地区经济增长条件收敛进行分析，估算条件收敛速度，揭示了福建省落后地区以较低速度实现对发达地区的赶超的事实。杨超和刘桂荣运用索洛模型实证分析FDI与上海地区经济增长之间的关系，分析表明FDI的引入可以促进上海地区的经济增长。中国学者关于索洛模型的研究主要集中在实证领域的稳态和收敛性等方面研究，而在该模型理论只进行了一些简单探索。虽然得出一些有价值的理论观点和实证结果，但是并没有深入研究索洛模型在中国的适应性方面的研究。而且索洛模型在农业经济部门中的研究比较少。本文试图结合中国的经济结构特征，在理论上进行适应性方面的探索。根据中国经济具有典型的二元经济结构特征：工业化水平不高，农业生产水平比较落后。在研究中，假定经济参与者为家庭、厂商两个部门。由于厂商数量种类繁多，而且性质不同，为了研究方便，将厂商分为农业部门厂商和非农业部门厂商，农业部门被认为是传统部门，非农业部门被认为是现代部门。然后进行研究。索洛模型在中国经济研究方面的应用起步较晚，成果相对较少。而且中国的经济是有中国特色的社会主义市场经济。在这样的大背景下，一些西方发达国家经济发展规律在中国可能需要进行适当调整。在研究中，对消费者的效用函数，以及世代交叠模型的假设条件进一步放宽。同时把乔根森模型的假设条件放松。创造性地把厂商根据中国国情分为农业部门厂商和非农业部门厂商。在具体研究时，先进行局部均衡分析，也就是对农业经济部门厂商和非农业部门厂商进行局部均衡分析。然后，通过特定假设，对整个经济体系进行一般均衡分析。
二、模型假设
1.家庭
假设有大量相同的家庭。每个家庭的规模以速率n增长。家庭的每一个成员在每一时点上供给1单位劳动。家庭在每一时点上将其收入（来自它从所供给的劳动和资本上取得的收入，以及它从厂商那里可能得到的利润）用于消费和储蓄，以最大化其一生效用。家庭效用函数的形式为U＝α1t=0乙e-ρtu（c（t））L（t）Hdt（1）公式（1）中，c（t）为每一家庭成员的消费。u（•）为即期效用函数，它给出了每一家庭成员在给定日期的效用。L（t）为经济的总人口；H为家庭数。ρ为贴现率，ρ越大，与现期消费相比，家庭对未来消费的评价越低。显然u（c（t））L（t）H为家庭在t期的总即期效用。引入世代交叠模型，假定家庭人口中，新人不断出生，老人不断死亡，也就是说存在人口的新老交替。为了进一步研究中国经济，假定人口是在农业生产部门和非农业生产部门之间进行无限制地相互流动，也就是说人口会根据其收益高低进行自动选择所处的部门，最终达到农业部门和非农业部门收益率均衡状态。为了简化研究，将时间t假定为离散型变量。即模型（1）中的变量t=0，1，2，…n。为了进一步简化研究，该模型假定每一个人仅生存两期：年轻人和老年人。假定的理由是，对于该模型来说，要满足人口在不断新老交替、以及在农业部门人口和非农业部门之间自由流动这两个假定。假定Lt个人在t期出生，人口增长率为n；所以Lt＝（1＋n）Lt-1。个人生存两期，在t期有Lt个人处于其寿命的第1期，Lt＝Lt（/1＋n）个人处于其寿命的第2期。每个人在年轻时供给1单位劳动，并将所得劳动收入用于第一期消费和储蓄；在第二期，个人仅消费上期储蓄和从储蓄中得到的利息。令C1t和C2t分别表示在t期的年轻人和老年人的消费。一个在t期出生的人，其效用Ut取决于其在不同阶段的消费，即C1t和C2t+1。研究假定不区分消费者消费的产品是农业部门提供的农产品还是非农业部门提供的非农产品；消费者选择的原则是根据消费的效用最大化在农产品和非农产品之间进行选择。在正常情况下，消费的增长是平衡增长的。为了达到这个目的，研究选择一个新的效用函数。该效用函数为贴现的效用函数。Ut＝lnC1t＋lnC2t+11＋ρ，ρ是贴现率（2）假定初始资本存量为K0，它由最初0期的老人平均拥有。在第0期，老年人拥有的资本和年轻人提供的劳动被结合起来生产产品。资本和劳动的报酬均为其边际产品。老年人同时消费其资本收入和现有财富，然后死亡并退出该模型。年轻人把收入wtAt分为消费和储蓄，他们将其带入下一期。因此，t+1期的资本存量Kt+1等于t期的年轻人数量Lt乘以每个年轻人的储蓄（wtAt-Clt）。该资本再与下一代年轻人提供的劳动结合，且这一过程一直继续下去。
2.厂商―――农业部门厂商与非农业部门厂商区分
假设在经济中存在大量厂商。劳动（A）外生地以速率g增长。厂商最大化利润。厂商归家庭所拥有，因此厂商所得利润均归家庭。根据索洛模型，索洛模型中包含四个变量：产量（Y），资本（K），劳动（A）和知识或“劳动有效性”（L）。在任一时期，经济中有一定量的资本、劳动和知识，而这些被结合起来生产产品。即每一个厂商在时间t期生产函数为Y＝F（K（t），A（t），L（t））（3）在生产函数中，引入哈罗德中性假设，也就是说，不改变资本和劳动的边际产量之比率的中性的技术进步。在生产函数中，劳动（A）和知识或“劳动有效性”（L）以相乘形式进入。AL被称为有效劳动。公式（3）变为Y＝F（K，AL）（4）根据索洛模型假定，该生产函数对于资本（K）和有效劳动（AL）这两个自变量是规模报酬不变的。即对于所有非负常数C有，F（cK，cAL）＝cF（K，AL）其中c≥0（5）对公式（5）中两投入品同时除以AL，得到（fk）≡FKALK，1K＝KALKKα＝kα（6）（k）表示每单位有效劳动的平均产量假定经济模型中存在农业部门厂商和非农业部门厂商这两个厂商。这两个厂商具有相似的生产函数，不同之处在于随机干扰的影响大小不同。在这两个部门之间，资本（K）、劳动（A）和知识或“劳动有效性”（L）这三个要素可以自由流动，也就是说在生产中，这些资源是共享的。为了研究方便，引入柯布―道格拉斯生产函数。Y1＝F（K，AL）＝μKα（AL）1-α0＜α＜1（7）其中α是资本产出的弹性系数，表示资产投入的变化引起产值变化的速率；μ≤1，表示随机干扰的影响。α＝坠LnY坠LnK＝qKpYp是产出价格，q是资本价格如果p=q，α＝KY1-α是劳动力产出弹性系数。1－α＝坠YY坠LL接下来，分别对不同厂商的生产函数进行分析。（1）农业部门厂商生产函数确定乔根森模型认为经济系统可以分为现代部门和落后部门；落后部门以农业经济作为典型代表。落后部门的发展决定因素是劳动和土地；假定土地供给固定，且边际报酬递减，不存在资本积累；随着技术进步，落后部门的产出随时间而自动增长。在研究中，放宽“不存在资本积累”这个假定，认为在农业部门中也存在资本积累。并且假定积累的资本根据市场收益率高低自动选择在现代部门和传统部门之间流动。在落后部门中，资本和劳动都将与土地结合在一起。因此在农业部门中的生产函数中我们仍然可以用有效劳动和资本来进行描述。农业部门的经济分析中注重供给行为反应。农业部门厂商最终产品的产出可以由柯布一道格拉斯生产函数描述。对乔根森模型中的农业部门生产函数进行调整。认为在这个生产函数中，决定农产品产出的因素有农业投入资本、农业劳动量、农业技术进步和农业土地投入等。假定投入农业部门的资本比例是αAK，投入农业部门厂商的有效劳动比例是αAL。根据规模报酬不变的假定，在柯布―道格拉斯生产函数中，干扰因子μ对于农业部门的生产影响较大。假定对于农业部门厂商来说，其生产函数为：Y1＝F（K，AL）＝μ1（αAKK）α1（αALAL）1-α1（8）α1为农业部门资本产出弹性系数α1＝坠LnY1坠LnK＝q1Kp1Y1（9）p1是农产品产出价格，q1是用于农业部门的资本价格（2）非农业部门厂商生产函数确定乔根森模型认为现代部门的发展决定因素是资本和劳动。现代部门生产函数规模报酬不变，现代部门的产出随时间而自动增长，这是技术进步的结果。在研究中，把非农业部门归为这一类。在这一类中，具有代表性的部门是工业生产部门。因此用工业生产部门的柯布―道格拉斯生产函数来代表非农业部门生产函数。在工业部门，工业部门的生产决定性因素是：有效劳动力、资产存量和综合技术水平（包括先进的经营管理水平、先进领先的技术等）。工业部门根据效应最大化组织产品生产。根据前面的假设，投入非农业部门的资本比例是1-αAK，投入非农业部门的有效劳动比例是1-αAL。为了研究方便，所以我们假定在非农业部门，柯布―道格拉斯生产函数中的干扰因子μ=1，即Y2＝F（K，AL）＝μ2（（1-αAK）K）α2（（1-αAL）AL）1-α2α2为非农业部门资本产出弹性系数α2＝坠LnY2坠LnK＝q2Kp2Y2（10）p2是非农产品产出价格，q2是用于非农业部门的资本价格3.经济增长模型的构建根据前面假设，整个经济是由农业部门和非农业部门两个部门组成，整个经济的生产函数，由这两个部门的生产函数来决定。假定整个经济的生产函数跟农业部门和非农业部门的生产函数具有线性关系，所以Y＝Y1＋Y2＝μ1（αAKK）α1（αALAL）1-α1＋μ2（（1-αAK）K）α2（（1-αAL）AL）1-α2＝μ1（αAK）α1（αAL）1-α1（K）α1（AL）1-α1＋μ2（（1-αAK））α2（（1-αAL））1-α2（11）令α1A＝μ1（αAK）α1（αAL）1-α1，α2A＝μ2（（1-αAK））α2（（1-αAL））1-α2则公式（10）变为Y＝α1A（K）α1（AL）1-α1+α2A（K）α2（AL）1-α2（12）其中：α1A、α2A分别表示资本和有效劳动在农业部门与非农业部门这两个部门的分配系数显然，从新建立的经济增长模型中可以看出，整个经济体系的生产函数仍然可以用柯布―道格拉斯生产函数线性来表示。
三、经济增长模型中参与者行为推导
1.家庭消费行为推导
根据世代交叠模型，对家庭的消费行为进行分析。首先要进行预算约束的推导。考虑一个t期出生的人，其第2期消费为C2t+1＝（1＋rt+1）（wtAt-C1t）（13）两边同时除以1＋rt+1，并将C1t移至左边，得预算约束：C1t＋11＋rt+1C2t+1＝Atwt（14）公式（14）的经济含义是，一生消费的现值等于初始财富（此处为0）加上一生劳动收入（此处为Atwt）。个人在预算约束（14）下最大化公式（2）。运用拉格朗日函数求最大化情形。拉格朗日函数为Φ＝1nC1t＋1nC2t+11＋ρ＋λAtwt-C1t＋11＋rt+1C2t+1（15）对C1t，C2t+1求导，得到一阶条件为C1t＝1λ（16）C2t+1＝1＋rt+1λ（1＋ρ）（17）将公式（16）代入公式（17）得到：C2t+1C1t＝1＋rt+11＋ρ（18）应用公式（18）和预算约束（14），把C1t用劳动收入和真实利率表示。得到：C1t＝1-12＋ρρρAtwt（19）用于储蓄的比率为s(r)＝12＋ρ这个表达式表明，一个人的消费是随着时间发生变化的，这取决于真实报酬率的大小和贴现率大小。在这个模型中，可以看到消费是随着真实报酬率的提高而提高的，随着贴现率的降低而提高。如果公式（18）得不到满足，则人人可以重新安排其一生中的消费，从而增加总效用，但却不会改变消费流的现值。而一生消费的现值等于初始财富加上未来收入的现值。r的上升同时具有收入效应和替代效应。这时两期消费之间的交替更有利于第2期消费，因为这一情况会增加储蓄（替代效应）；但一定量储蓄能够带来更多第2期消费，这一情况会降低储蓄（收入效应）。因此在选择进行消费时要根据真实报酬率的大小和贴现率大小来进行。
2.厂商行为推导
该模型假定涉及劳动、知识和资本三个存量如何随时间变动。研究假定，在模型中，时间是连续的；也就是说，该模型中的各个变量均定义于每一时点上。资本、劳动和知识的初始水平被认为是既定的。劳动和知识均以不变速度增长：Ｌ•（t）＝nL（t）（20）Ａ•（t）＝gA（t）（21）其中，n和g为外生参数，一个变量上面加一点表示其对时间的导数（即Ｌ•（t）是dL（t）dt的简写，以下类似处理）产量分为消费和投资。产量中用于投资的比例是s是外生和不变的。用于投资的一单位产品产生一单位新资本。现存资本的折旧率为δ。这样Ｋ•（t）＝sY（t）－δK（t）（22）n、g和δ假定均为正数。因为劳动和资本均获取其边际产品，所以每单位有效劳动的平均工资和真实利率分别为wt＝f（kt）-ft'（kt）和rt＝ft'（kt）。
四、经济增长模型的动态经济学解释
在经济中，加总个人行为来描述经济的动态变化。根据前面的假设，t+1期的资本存量就是t年轻人的储蓄额。可得：Kt+1＝s（rt+1）LtAtwt（23）公式（23）两端同时除以Lt+1At+1可以得到每单位有效劳动的平均资本kt+1＝1（1＋n）（1＋g）12＋ρwt（24）将wt＝（fkt）-ft'（kt）代入公式（23）得到kt+1＝1（1＋n）（1＋g）(2＋ρ）（fkt）-ktf（'ktk）（k25）因为关于农业部门和非农业部门的生产函数为柯布―道格拉斯函数，所以对于农业部门（fkt）＝k1α1，fw＝（1-α1）k1α1，所以kt+1＝1-α1（1＋n）（1＋g）(2＋ρ）k1tα1（26）同理，对于非农业部门（fk2）＝k2α2，w＝（1-α2）k2α2k2t+1＝1-α2（1＋n）（1＋g）(2＋ρ）k2tα2（27）1.农业部门模型的局部均衡分析如图1，把k1t+1表示为k1t的函数。k1t+1函数与45度线的交点即为k1t+＝k1t的点。我们考虑特殊情形，当k1t＝0时，k1t+＝k1t；当k1t比较小时，k1t+1＞k1t；然后k1t+穿过45度线，并保持低于k1t。因此，除k1t＝0之外，k1t有唯一的均衡水平。均衡点用k1*表示。在这里k1*是局部稳定的：不管k1t从何处开始（除0之外），它都收敛于k1*。在这个局部均衡中，一旦经济收敛至其平衡增长路径，其特性就与处于平衡增长路径上的索洛经济相同：储蓄率不变，每个农业工人平均产量以速率g1增长，资本―产量比率不变等。
2.非农业部门模型的局部均衡分析
非农业部门的生产函数也是柯布―道格拉斯函数，所以其经济波动性质跟农业生产部门的类似。不同之处在于其波动的幅度，波动的范围有所区别，把k2t+1表示为k2t的函数。k2t+1函数与45度线的交点即为k2t+1＝k2t的点。考虑特殊情形，当k2t＝0时，k2t+1＝k2t；当k2t比较小时，k2t+1＞k2t；然后k2t+1穿过45度线，并保持低于k2t。因此，除k2t＝0之外，k2t有唯一的均衡水平。均衡点用k2*表示。在前面的分析中，研究是从局部角度出发，分析了在农业部门和非农业部门的经济均衡分析。需要进一步研究，将局部均衡分析发展为一般均衡分析，即要将所有相互联系的两个部门看成一个整体来进行研究。也就是对k1*和k2*的关系进一步进行分析。在局部均衡分析中，研究得到了局部均衡点。在每个均衡点，决定了各自的均衡价格、均衡产量等。也就是说农业部门和非农业部门分别在k1*和k2*均衡点确定了各自的经济状态。根据瓦尔拉斯一般均衡理论，从理论上来说，存在着一组价格，能使每个经济部门达到均衡。现在，分析实际的经济体系是否可以达到这种一般均衡状态。在这里，是否达到瓦尔拉斯一般均衡不是要求k1*和k2*这两个均衡点重合，而是指现行价格体系，能确保实体经济处于一种均衡状态上不再发生变化。根据前面的假设，资本、有效劳动等都可以在两个部门之间无成本自由流动。根据经济规律，资本会自动流向高收益的领域。所以这两个部门的资本产出弹性系数应当相等，即α1＝α2。所以在一般均衡状态下，Y＊＝μ1（αAK）α1（αAL）1-α1（K）α1（AL）1-α1＋μ2（（1-αAK））α2（（1-αAL））1-α2（K）α2（AL）1-α2＝α＊（K）α1（AL）1-α1（28）其中α＊=（α1A+α2A）=μ1（αAK）α1（αAL）1-α1+μ2（（1-αAK））α2（（1-αAL））1-α2=μ（αAK）α1（αAL）1-α1+μ2（（1-αAK））α2（（1-αAL））1-α2在经济增长均衡点，资本的弹性系数是由处于均衡状态的农业部门和非农业部门的资本弹性系数来决定。而对这个模型的影响因子大小跟有效劳动在两个经济部门之间的分配比例有关，同时也跟资本在两个经济部门之间的分配比例有关。从分析中可以看出，在一般均衡状态下，两部门的均衡经济起生产函数仍然是柯布―道格拉斯函数。在这种情况下，就可以建立一个基于农业经济发展的经济增长模型。
五、结束语
在新古典增长模式中，关于技术进步存在哈罗德中性这个假设非常重要。而现实中，研究发现技术进步的哈罗德中性假设有时面临很大挑战。研究表明，在二元经济结构（农业部门与非农业部门）中，增长模型具有稳态增长路径，而且稳态增长过程中劳动增进型技术进步与资本增长型技术进步对均衡路径具有不同的影响。在农业部门中稳态增长主要是来源于劳动增进型技术进步，在非农业部门中稳态增长主要是来源于资本增进型技术进步。它们各自形成一个局部的均衡。通过这两个部门之间的均衡博弈，最终形成整个经济体系的均衡。同时，模型的分析表明，一个经济体系可以根据自身要素禀赋特性选择经济发展模式，最终，也能达到经济发展的均衡状态。对于这个模型是否跟经济实践一致，还需要对这个基于农业经济的增长模型进一步进行理论分析和相关的实证研究。同时，这个经济增长模型的一般均衡，其实现条件也需要进一步地研究和探讨。
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